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🚀 Fortuna 隨機數生成函數文檔

Fortuna 是一個多語言隨機數生成庫，支持 Python、C++ 和 Go 等多種編程語言。它提供豐富的概率分佈函數與統計工具，廣泛應用於科學計算、數據分析、蒙特卡洛模擬等領域。

🚀 快速開始

Fortuna 是一個強大的多語言隨機數生成庫，支持 Python、C++ 和 Go 等多種編程語言。它提供了豐富的概率分佈函數和統計工具，適用於科學計算、數據分析、蒙特卡洛模擬等領域。以下是使用 Fortuna 的基本步驟：

1. 安裝 Fortuna 庫。
2. 導入所需的模塊。
3. 調用相應的函數生成隨機數或進行統計分析。

✨ 主要特性

• 多語言支持：提供多種語言的接口。
• 豐富的概率分佈：涵蓋連續和離散分佈。
• 高效的算法：採用經過驗證的隨機數生成算法。
• 模塊化設計：便於擴展和集成。

📦 安裝指南

在 Python 中，可以通過以下命令安裝 Fortuna：

pip install fortuna

💻 使用示例

基礎用法

均勻分佈

import Fortuna as fr

# 生成一個均勻分佈在[0,1)區間的隨機數
print(fr.uniform())
# 輸出類似：0.7532196185644483

正態分佈

import Fortuna as fr

# 生成一個均值為0，標準差為1的正態分佈隨機數
print(fr.normal(0, 1))
# 輸出類似：-0.12345678901234567

拋硬幣

import Fortuna as fr

# 模擬拋硬幣，正面概率為0.5
print(fr.coin(0.5))
# 輸出類似：True（表示正面）

高級用法

具體分佈函數

離散分佈

• 伯努利試驗
  • 描述：生成一個伯努利隨機變量。
  • 參數：
    • p (float) – 成功概率，默認為0.5。
  • 示例

print(fr.bernoulli(0.7))  # 輸出1表示成功，0表示失敗

• 二項分佈
  • 描述：生成一個二項分佈隨機變量。
  • 參數：
    • n (int) – 試驗次數。
    • p (float) – 每次成功的概率，默認為0.5。
  • 示例

print(fr.binomial(10, 0.3))  # 輸出在0到10之間的整數

• 幾何分佈
  • 描述：生成一個幾何分佈隨機變量，表示成功前的失敗次數。
  • 參數：
    • p (float) – 成功概率，默認為0.5。
  • 示例

print(fr.geometric(0.4))  # 輸出失敗次數

• 負二項分佈
  • 描述：生成一個負二項分佈隨機變量，表示r次成功前的失敗次數。
  • 參數：
    • r (int) – 成功次數。
    • p (float) – 每次成功的概率，默認為0.5。
  • 示例

print(fr.negative_binomial(3, 0.7))  # 輸出失敗次數

• 泊松分佈
  • 描述：生成一個泊松分佈隨機變量，表示單位時間內的事件發生次數。
  • 參數：
    • lambda (float) – 平均率，默認為1.0。
  • 示例

print(fr.poisson(2.5))  # 輸出整數

連續分佈

• 均勻分佈
  • 描述：生成一個均勻分佈在區間[low, high)的隨機變量。
  • 參數：
    • a (float) – 區間的下界，默認為0.0。
    • b (float) – 區間的上界，默認為1.0。
  • 示例

print(fr.uniform(0, 5))  # 輸出在0到5之間的隨機數

• 正態分佈
  • 描述：生成一個正態分佈隨機變量，也稱為高斯分佈。
  • 參數：
    • mean (float) – 分佈的均值，默認為0.0。
    • std_dev (float) – 分佈的標準差，默認為1.0。
  • 示例

print(fr.normal(5, 2))  # 輸出符合N(5,2²)分佈的隨機數

• 指數分佈
  • 描述：生成一個指數分佈隨機變量，常用於模擬事件之間的等待時間。
  • 參數：
    • lambda (float) – 平均率，默認為1.0。
  • 示例

print(fr.exponential(0.5))  # 輸出等待時間

• 帕累託分佈
  • 描述：生成一個帕累託分佈隨機變量，常用於模擬自然和社會現象中的長尾分佈。
  • 參數：
    • shape (float) – 分佈的形狀參數，默認為2.0。
  • 示例

print(fr.pareto(2.5))  # 輸出符合帕累託分佈的隨機數

• 布爾分佈
  • 描述：生成一個威布爾分佈隨機變量，常用於可靠性工程和風速分析。
  • 參數：
    • shape (float) – 分佈的形狀參數，默認為2.0。
    • scale (float) – 分佈的尺度參數，默認為1.0。
  • 示例

print(fr.weibull(3, 2))  # 輸出符合威布爾分佈的隨機數

• 卡方分佈
  • 描述：生成一個卡方分佈隨機變量，常用於統計推斷。
  • 參數：
    • degrees_of_freedom (int) – 自由度，默認為1.
  • 示例

print(fr.chi_squared(5))  # 輸出符合χ²(5)分佈的隨機數

• F 分佈
  • 描述：生成一個F分佈隨機變量，常用於方差分析。
  • 參數：
    • numerator_dof (int) – 分子自由度。
    • denominator_dof (int) – 分母自由度。
  • 示例

print(fr.f_distribution(5, 10))  # 輸出符合F(5,10)分佈的隨機數

• t 分佈
  • 描述：生成一個t分佈隨機變量，常用於小樣本統計推斷。
  • 參數：
    • degrees_of_freedom (int) – 自由度，默認為1.
  • 示例

print(fr.t_distribution(3))  # 輸出符合t(3)分佈的隨機數

• 對數正態分佈
  • 描述：生成一個對數正態分佈隨機變量，常用於模擬乘積或增長率。
  • 參數：
    • mu (float) – 對數的均值，默認為0.0。
    • sigma (float) – 對數的標準差，默認為1.0。
  • 示例

print(fr.log_normal(0, 0.5))  # 輸出對數正態分佈的隨機數

• 柯西分佈
  • 描述：生成一個柯西分佈隨機變量，是一種高尾分佈。
  • 參數：
    • location (float) – 分佈的位置，默認為0.0。
    • scale (float) – 分佈的尺度，默認為1.0。
  • 示例

print(fr.cauchy(0, 2))  # 輸出符合柯西分佈的隨機數

• 貝塔分佈
  • 描述：生成一個貝塔分佈隨機變量，常用於模擬概率密度函數。
  • 參數：
    • alpha (float) – 第一形狀參數，默認為1.0。
    • beta (float) – 第二形狀參數，默認為1.0。
  • 示例

print(fr.beta(2, 5))  # 輸出符合貝塔分佈的隨機數

統計工具

隨機抽樣

• 無放回抽樣

import numpy as np

population = np.array([10, 20, 30, 40, 50])
print(fr.sample(population, 3))  # 輸出一個包含3個元素的數組，如 [10, 30, 40]

• 分層抽樣

population = {'A': [1, 2, 3], 'B': [4, 5, 6]}
print(fr.stratified_sample(population, 2))  # 每個分層中抽取一個元素，如 {'A': 2, 'B': 4}

假檢驗驗

• Kolmogorov - Smirnov 檢驗

sample = [1.2, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0]
print(fr.kolmogorov_smirnov_test(sample))  # 輸出p值，用於檢驗樣本是否符合某個分佈

• Shapiro - Wilk 檢驗

sample = [1.2, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0]
print(fr.shapiro_wilk_test(sample))  # 輸出統計量和p值，用於檢驗樣本是否符合正態分佈

統計建模

• 線性迴歸

import pandas as pd

data = {'x': [1, 2, 3, 4, 5], 'y': [2, 3, 5, 6, 7]}
df = pd.DataFrame(data)
model = fr.linear_regression(df, 'x', 'y')
print(model.summary())  # 輸出迴歸結果，如截距、斜率及其統計顯著性

• logistic 迴歸

data = {'x': [1, 2, 3, 4, 5], 'y': [0, 0, 1, 1, 1]}
df = pd.DataFrame(data)
model = fr.logistic_regression(df, 'x', 'y')
print(model.summary())  # 輸出logit迴歸結果

示例

蒙特卡洛模擬

# 模擬擲骰子的期望值
import numpy as np

def roll_dice():
    return np.random.randint(1, 7)

results = [roll_dice() for _ in range(10000)]
print(f"Mean: {np.mean(results)}, Variance: {np.var(results)}")

風險管理

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 模擬投資組合的風險
returns = np.random.normal(loc=0.05, scale=0.1, size=1000)
portfolio_value = 1000 * (1 + returns).cumprod()
print(f"Expected Return: {np.mean(returns)*100}%, Volatility: {np.std(returns)*100}%")
plt.plot(portfolio_value)
plt.show()

質量控制

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 檢查生產過程中的缺陷率
sample_size = 50
defects = np.random.binomial(n=10, p=0.05, size=100)
control_limits = fr.control_limits(sample_size, defects)
print(f"Upper Control Limit: {control_limits[0]}, Lower Control Limit: {control_limits[1]}")
plt.plot(defects)
plt.axhline(y=control_limits[0], color='red')
plt.axhline(y=control_limits[1], color='red')
plt.show()

結論

隨機數生成和統計模擬在科學研究、工程設計、金融分析等多個領域發揮著重要作用。通過使用 NumPy 和 Fortuna 這樣的庫，我們可以高效地進行數據採樣和建模，從而為決策提供可靠的支持。

為了有效地生成隨機數並進行各種統計模擬，我們推薦使用以下幾個步驟：

步驟 1: 安裝必要的庫

首先，確保安裝了 NumPy 和 Fortuna 庫。這些庫提供了豐富的函數來生成不同分佈的隨機數，並進行統計分析。

pip install numpy fortuna

步驟 2: 導入所需的庫

在你的 Python 腳本中導入 NumPy 和 Fortuna：

import numpy as np
from fortuna import random, distributions

步驟 3: 生成均勻分佈的隨機數

使用 random.uniform 函數生成均勻分佈在區間 [0,1) 的隨機數。

# 單個隨機數
single_random = random.uniform()
print(f"Single Uniform Random Number: {single_random}")

# 數組形式
array_random = random.uniform(size=5)
print("\nArray of Uniform Random Numbers:")
print(array_random)

步驟 4: 生成正態分佈的隨機數

使用 random.normal 函數生成均值為 0，標準差為 1 的正態分佈隨機數。

# 單個隨機數
single_normal = random.normal()
print(f"\nSingle Normal Random Number: {single_normal}")

# 數組形式
array_normal = random.normal(size=5)
print("\nArray of Normal Random Numbers:")
print(array_normal)

步驟 5: 生成自定義分佈的隨機數

你可以通過傳遞概率質量函數（PMF）或概率密度函數（PDF）來生成自定義分佈的隨機數。

# 自定義離散分佈，例如擲骰子
pmf = np.array([1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6])
custom_discrete = distributions.Categorical(pmf)
discrete_random = custom_discrete.sample(size=5)

print("\nCustom Discrete Random Numbers:")
print(discrete_random)

# 自定義連續分佈，例如指數分佈
lambda_param = 0.5
pdf = lambda x: lambda_param * np.exp(-lambda_param * x)
custom_continuous = distributions.CustomDistribution(pdf)
continuous_random = custom_continuous.sample(size=5)

print("\nCustom Continuous Random Numbers:")
print(continuous_random)

步驟 6: 進行統計模擬

利用生成的隨機數進行各種統計模擬，例如蒙特卡洛積分、風險分析或假設檢驗。

# 蒙特卡洛積分：計算π的近似值
def monte_carlo_pi(n_samples):
    random_points = random.uniform(low=-1, high=1, size=(n_samples, 2))
    inside_circle = (random_points[:, 0]**2 + random_points[:, 1]**2) <= 1
    return np.mean(inside_circle) * 4

# 計算π的近似值
n_samples = 10000
pi_estimation = monte_carlo_pi(n_samples)
print(f"\nMonte Carlo Estimation of π with {n_samples} samples: {pi_estimation}")

步驟 7: 可視化結果

使用 matplotlib 來可視化生成的隨機數或模擬結果。

import matplotlib.pyplot as plt

# 繪製正態分佈樣本
plt.hist(array_normal, bins=15, density=True, alpha=0.6, color='b')
plt.title('Normal Distribution Sample')
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.show()

# 繪製蒙特卡洛π估計的結果
points = random.uniform(low=-1, high=1, size=(n_samples, 2))
inside = points[points[:, 0]**2 + points[:, 1]**2 <= 1]
outside = points[points[:, 0]**2 + points[:, 1]**2 > 1]

plt.scatter(inside[:, 0], inside[:, 1], color='blue', alpha=0.5)
plt.scatter(outside[:, 0], outside[:, 1], color='red', alpha=0.5)
plt.title('Monte Carlo Integration for π')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show()

步驟 8: 結果分析

根據生成的隨機數和模擬結果，進行統計分析，例如計算均值、方差或其他所需的統計量，並根據需要調整參數或算法。

總結

通過上述步驟，你可以有效地利用 NumPy 和 Fortuna 庫來生成各種分佈的隨機數，並進行復雜的統計模擬。這對於科學研究、工程設計、金融建模等領域非常有用，能夠幫助你做出更明智的數據驅動決策。